$x\left( \sqrt{3}-1 \right)=y\left( 2\sqrt{3}+1 \right)-z$
$\Leftrightarrow x\sqrt{3}-x=2\sqrt{3}y+y-z$
$\Rightarrow x+y-z=\sqrt{3}\left( x-2y \right)$
Vì x, y, z là số nguyên dương
$\Rightarrow x+y-z$và $\left( x-2y \right)$ là số nguyên
Mà $\sqrt{3}$ là số vô tỷ
$\Rightarrow x-2y=0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2y \\ & x+y-z=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2y \\ & z=3y \\ \end{align} \right.$
Ta có :
$\frac{x+4y-z}{x+y+1}=\frac{2y+4y-3y}{2y+y+1}=\frac{3y}{3y+1}$
Vì 3y và 3y + 1 là hai số nguyên dương liên tiếp nên $\left( 3y,3y+1 \right)=1$
Hay $\frac{3y}{3y+1}$ là phân số tối giản
$\Rightarrow \frac{x+4y-z}{x+y+1}$ là phân số tối giản.