Đặt $\frac{\sqrt{x}+3}{3\sqrt{x}+1}=k\left( k>0;\ k\in \mathbb{Z} \right)$
Khi đó, $\sqrt{x}=\frac{k-3}{1-3k}$
Điều kiện: $\frac{k-3}{3k-1}\ge 0$
+) TH1:$k-3\ge 0$ và $1-3k > 0$
$k\ge 3$ và $k < \frac{1}{3}$ (Loại)
+) TH2: $k-3\le 0$ và $1-3k < 0$
$k\le 3$ và $k > \frac{1}{3}$ (Thỏa mãn)
Vậy với $k\in \mathbb{Z};\ \frac{1}{3} < k\le 3$ suy ra $k\in \left\{ 1;2;3 \right\}$
$k=1\Rightarrow x=1$ (Thỏa mãn)
$k=2\Rightarrow x=\frac{1}{25}$ (Loại)
$k=3\Rightarrow x=0$ (Thỏa mãn)
Vậy $x\in \left\{ 0;1 \right\}$ thì $P$ nguyên.