Ta thấy ${{S}_{n}}$ là tổng của $n + 1$ phần tử, $\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ nên ${{S}_{100}}$ có 101 phần tử.
Ta thấy 3 = 1 + 2, (2 là số số hạng của ${{S}_{1}}$), 6 = 1 + 2 + 3 (2 là số số hạng của ${{S}_{1}}$, 3 là số số hạng của ${{S}_{2}}$),
10 = 1 + 2 + 3 + 4 (2 là số số hạng của ${{S}_{1}}$, 3 là số số hạng của ${{S}_{2}}$, 4 là số số hạng của ${{S}_{3}}$).
Vậy ta có quy luật số đầu tiên của dãy ${{S}_{n}}$ là tổng của 1 với số số hạng của tất cả các dãy ${{S}_{i}}$ phía trước.
${{S}_{100}}$ có 101 số hạng nên ${{S}_{99}}$ có 100 số hạng.
Khi đó số đầu tiên của dãy ${{S}_{100}}$ là $1+2+3+4+\text{ }\ldots \text{ }+100\text{ }=\frac{101.100}{2}=5050$
Mà ${{S}_{100}}$ có 100 số hạng nên số cuối cùng của ${{S}_{100}}$ là 101 – 1 + 5050 = 5150.
Vậy ${{S}_{100}}=\text{ }5050+5051+\text{ }\ldots \text{ }+5150.$

Hay