a) ${{3}^{n+3}}+{{3}^{n+1}}+{{2}^{n+3}}+{{2}^{n+2}}={{27.3}^{n}}+{{3.3}^{n}}+{{8.2}^{n}}+{{4.2}^{n}}={{30.3}^{n}}+{{12.2}^{n}}$
Ta có $30\vdots 6$ nên ${{30.3}^{n}}\vdots 6,12\vdots 6$ nên ${{12.2}^{n}}\vdots 6$ với $n\in \mathbb{N}.$
Suy ra ${{30.3}^{n}}+{{12.2}^{n}}$ chia hết cho 6 với $n\in N.$
Vậy ${{3}^{n+3}}+{{3}^{n+1}}+{{2}^{n+3}}+{{2}^{n+2}}$ chia hết cho 6 với $n\in \mathbb{N}.$
b) $x + 15$ là bội của $x + 3$ nên $\left\{ \begin{align}
& \left( x+15 \right)\vdots \left( x+3 \right) \\
& \left( x+3 \right)\vdots \left( x+3 \right) \\
\end{align} \right.$
Suy ra $\left( x+15-x-3 \right)\vdots \left( x+3 \right)$ hay $12\vdots \left( x+3 \right).$
Do $x$ là số tự nhiên nên $x+3\ge 3.$
Do đó $\left( x+3 \right)\in \left\{ 3,4,6,12 \right\}.$
Suy ra $x\in \left\{ 0,1,3,9 \right\}.$
Vậy $x\in \left\{ 0,1,3,9 \right\}$ thì $x + 15$ là bội của $x + 3.$