+) ĐKXD: $-1 \le a,b \le 1.$
Ta thấy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}} \ge 0$ với mọi $a,b.$
$\Rightarrow a\sqrt{1-{{b}^{2}}}+b\sqrt{1-{{a}^{2}}}\ge 0$
Nếu $0\le a,b\le 1$ ta luôn có: $a\sqrt{1-{{b}^{2}}}+b\sqrt{1-{{a}^{2}}}\ge 0$
Nếu $-1\le a,b < 0$ thì $a\sqrt{1-{{b}^{2}}}+b\sqrt{1-{{a}^{2}}} < 0$ (Loại)
Giả sử, $a < b$ khi đó xét $a < 0,b > 0.$
$\Rightarrow a < \frac{-b\sqrt{1-{{a}^{2}}}}{\sqrt{1-{{b}^{2}}}} < 0;\ \ b\le 1.$
$\Rightarrow 3a+4b\le 4.\ \ \ \ \ \ \ \left( 1 \right)$
+) Với $0 < a,b < 1$
Xét ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-a\sqrt{1-{{b}^{2}}}-b\sqrt{1-{{a}^{2}}}=0$
$a\left( a-\sqrt{1-{{b}^{2}}} \right)+b\left( b-\sqrt{1-{{a}^{2}}} \right)=0$
$a\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1}{a+\sqrt{1-{{b}^{2}}}} \right)+b\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1}{b+\sqrt{1-{{a}^{2}}}} \right)=0$
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1 \right)\left( \frac{a}{a+\sqrt{1-{{b}^{2}}}}+\frac{b}{b+\sqrt{1-{{a}^{2}}}} \right)=0$
Mà với $0 < a,b < 1$ thì $\left( \frac{a}{a+\sqrt{1-{{b}^{2}}}}+\frac{b}{b+\sqrt{1-{{a}^{2}}}} \right) > 0$ với mọi giá trị của $a,b.$
Từ đó suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1=0$ hay ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$
Xét ${{\left( 3a+4b \right)}^{2}}\le \left( {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=25.$
$\Rightarrow \left[ \begin{align}
& 3a+4b\le 5\ \ \ \ \ \ \left( 2 \right) \\
& 3a+4b\ge -5\ \ \ \ \left( L \right) \\
\end{align} \right.$
Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)$ suy ra max $3a+4b=5$
Dấu “=” xảy ra tại $\frac{a}{3}=\frac{b}{4},\ \ \ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$ vậy $a=\frac{3}{5};b=\frac{4}{5}.$