Vì Am là tia phân giác của $\widehat{aAB}$ nên $\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}=\frac{\widehat{aAB}}{2}$
Vì Bn là tia phân giác của $\widehat{ABb}$ nên $\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}=\frac{\widehat{ABb}}{2}$
Vì a//b nên $\widehat{aAB}+\widehat{ABb}=180{}^\circ$(hai góc trong cùng phía)
$\Rightarrow 2\widehat{{{A}_{1}}}+2\widehat{{{B}_{1}}}=180{}^\circ \Rightarrow 2\left( \widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{B}_{1}}} \right)=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{B}_{1}}}=90{}^\circ$
Xét tam giác AIB có: $\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{AIB}=180{}^\circ \Rightarrow 90{}^\circ +\widehat{AIB}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{AIB}=90{}^\circ$

Bài 2:
Gọi At là tia đối của tia AB
Vì An là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAn}=\widehat{nAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}$
Vì Am là tia phân giác của $\widehat{CAt}$ nên $\widehat{CAm}=\widehat{mAt}=\frac{\widehat{CAt}}{2}$
Ta có: $\widehat{nAm}=\widehat{nAC}+\widehat{CAm}=\frac{\widehat{BAC}}{2}+\frac{\widehat{CAt}}{2}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{CAt}}{2}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Bài 3
a) Vì BI là phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$
Vì BI là phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$
Xét tam giác ABC có:
\[\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180{}^\circ \Rightarrow 80{}^\circ +2.\widehat{{{B}_{2}}}+2\widehat{{{C}_{2}}}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{C}_{2}}}=50{}^\circ \]
Xét tam giác IBC có
\[\widehat{BIC}+\widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{C}_{2}}}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{BIC}+50{}^\circ =180{}^\circ \Rightarrow \widehat{BIC}=130{}^\circ \]
b) Gọi Bm là tia đối của tia BA
Vì BK là phân giác của $\widehat{mBC}$ nên $\widehat{{{B}_{3}}}=\widehat{{{B}_{4}}}=\frac{\widehat{mBC}}{2}$
Ta có $\widehat{IBK}=\widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{B}_{3}}}=\frac{\widehat{ABC}}{2}+\frac{\widehat{CBm}}{2}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{CBm}}{2}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $
Suy ra IB vuông góc với BK
c) Gọi Cn là tia đối của tia CA
Vì CK là phân giác của $\widehat{nCB}$ nên $\widehat{{{C}_{3}}}=\widehat{{{C}_{4}}}=\frac{\widehat{nCB}}{2}$
Ta có $\widehat{ICK}=\widehat{{{C}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}=\frac{\widehat{ACB}}{2}+\frac{\widehat{BCn}}{2}=\frac{\widehat{ACB}+\widehat{BCn}}{2}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $
Suy ra IC vuông góc với CK

Bài 4
Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong góc B và góc C
Vì BI là phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$
Vì BI là phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$
Xét tam giác IBC có:
\[\widehat{BIC}+\widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{C}_{2}}}=180{}^\circ \Rightarrow 100+\frac{\widehat{ABC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}}{2}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=160{}^\circ \]
Xét tam giác ABC có: \[\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{A}+160{}^\circ =180{}^\circ \Rightarrow \widehat{A}=20{}^\circ \]