Giải

a) Ta có: $DI\bot AB\Rightarrow \widehat{AID}=90{}^\circ $

$DK\bot AC\Rightarrow \widehat{AKD}=90{}^\circ $

$\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow \widehat{IAK}=90{}^\circ $

Tứ giác $AIDK$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật .

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo hình chữ nhật $AIDK$$\Rightarrow AD=IK;\,OA=OI$

$\Rightarrow \Delta AOI$ cân tại $O\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{AIK}$ (1)

Vì AM là trung tuyến $\Delta ABC$vuông tại A nên $AM=\frac{1}{2}BC=BM\Rightarrow \Delta ABM$ cân tại M

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{ABM}$ (2) .

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{AIK}$. Hai góc ở vị trí đồng vị nên $IK//BC$

b) $IK=\frac{1}{3}BC$$\Rightarrow AD=\frac{1}{3}BC$

Mà $BC=2AM$$\Rightarrow AD=\frac{1}{3}.2AM=\frac{2}{3}AM$

Vậy D thuộc AM sao cho $AD=\frac{2}{3}AM$