Trên tia đối của $AB$ lấy $K$ sao cho $AB = AK$.
Xét ∆$BKC$: $A$ là trung điểm của $BK$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM // KC$.
Mà $EA\bot AM$ nên $EA\bot KC.$
Ta lại có $KA\bot CE.$
Xét ∆$KEC$:
$\left\{ \begin{align}
& KA\bot EC \\
& EA\bot KC \\
\end{align} \right.$ nên $A$ là trực tâm của ∆$KEC.$
Do đó $CA\bot EK.$
Mà $CA\bot BD$ nên $EK // BD.$
$EK // BD$ nên $\widehat{EKA}=\widehat{DBA}$ (2 góc so le trong).
Xét ∆$EKA$ và ∆$DBA$:
$\left\{ \begin{align}
& \widehat{EKA}=\widehat{DBA}\left( cmt \right) \\
& KA=BA\left( gt \right) \\
& \widehat{EAK}=\widehat{DAB}\left( \text{dd} \right) \\
\end{align} \right.\Rightarrow $ ∆$EKA$ = ∆$DBA$ (g – c – g)
$\Rightarrow AE=AD$ (2 cạnh tương ứng).
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $AEM$:
$ME=\sqrt{A{{E}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{M}^{2}}}=MD.$
Vậy $ME = MD.$