Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{align}& x-2y+3=0 \\ & x-1=0 \\ \end{align} \right.$ \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.\]

Bài giải:

a) Ta có $N=-{{x}^{2}}+4x+3$

$N=-\left( {{x}^{2}}-4x-3 \right)$

$N=-\left( {{x}^{2}}-2.2x+4-7 \right)$

$N=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+7$

Vì $-{{\left( x-2 \right)}^{2}}\le 0,\forall x$

Nên $N=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+7\le 7,\forall x$

Dấu “=” xảy ra khi ${{\left( x-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=2$

Vậy giá trị lớn nhất của N là 7 khi x = 2.


b) Ta có

$M=-2{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}-4x+12y+4xy+2010$

$M=-({{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+9-4xy-12y+6x)-({{x}^{2}}-2x+1)+2020$

$M=-{{(x-2y+3)}^{2}}-{{(x-1)}^{2}}+2020$

$M=-[{{(x-2y+3)}^{2}}+{{(x-1)}^{2}}]+2020$

Vì ${{(x-2y+3)}^{2}}\ge 0;\,\,{{(x-1)}^{2}}\ge 0$ với mọi $x,y$ nên $-[{{(x-2y+3)}^{2}}+{{(x-1)}^{2}}]\le 0$

Do đó : $M=-[{{(x-2y+3)}^{2}}+{{(x-1)}^{2}}]+2020\le 2020$
Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{align}& x-2y+3=0 \\ & x-1=0 \\ \end{align} \right.$ \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.\]

Vậy GTLN của M là là 2020 khi (x, y) = (1, 2)