Bài 12 :
Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 3cm, AC = 4cm
a) Tính BC, góc B, góc C
b) Kẻ đường cao AH cắt BC tại H. Tính BH, AH
c) Từ H kẻ HM, HN lần lượt vuông góc với AB, AC. Gọi D là trung điểm của BC và K là giao điểm của AD với MN. Chứng minh $\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{N}^{2}}}$

Giải
a) Áp dụng đinh lý Pi-ta-go ta có: $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}={{5}^{2}}\Rightarrow BC=5cm$

$\operatorname{Sin}B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}\Rightarrow B=53{}^\circ \Rightarrow C=90{}^\circ -53{}^\circ =37{}^\circ$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

$A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{{{3}^{2}}}{5}=1,8cm$

$AB.AC=BC.AH\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=2,4cm$

c) Chứng minh được AK vuông góc với MN nên AK là đường cao trong tam giác vuông AMN .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMN: $\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{N}^{2}}}$