Áp dụng: ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=\frac{1}{2}.(a+b+c).\left[ {{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}} \right]$
Áp dụng : ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}-3ab=-18$
$\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+1-3a.b.1=-17$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+b+1)\left[ {{(a-b)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}} \right]=-17$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+b+1)$ < 0 vì ${{(a-b)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}$ > 0 với mọi a, b, c
$\Leftrightarrow a+b+1 < 0$
$\Leftrightarrow a+b < -1$ (1)
Lại có: ${{(a-b)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}$$\ge$${{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2(a+b)+2$
Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{{{(a+b)}^{2}}}{4}$ nên
${{(a-b)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}$$\ge \frac{{{(a+b)}^{2}}}{4}-2(a+b)+2$ $ > \frac{1}{4}-2.(-1)+2=\frac{17}{4}$ vì $a+b < -1$
Thay vào $\frac{1}{2}(a+b+1)\left[ {{(a-b)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}} \right]=-17$ ta được$a+b+1=\frac{-34}{{{(a-b)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}} > -34:\frac{17}{4}$
$\Leftrightarrow$$a+b+1 > -8$
$\Leftrightarrow$$a+b > -9$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $-\,9 < a+b < -1$ (đpcm)