Giải

a) Ta có: ${{5}^{n+3}}-{{3.5}^{n+1}}+{{2}^{6n+3}}$

$={{125.5}^{n}}-{{15.5}^{n}}+{{8.64}^{n}}$

$={{110.5}^{n}}+{{8.64}^{n}}$

$={{118.5}^{n}}-{{8.5}^{n}}+{{8.64}^{n}}$

$={{118.5}^{n}}+8.({{64}^{n}}-{{5}^{n}})$

Áp dụng hằng đẳng thức: an – bn = (a – b) (an-1 + an-2 b + an-3 b2 + an-4 b3 +… + bn-1)

${{64}^{n}}-{{5}^{n}}=(64-5)({{64}^{n-1}}+{{64}^{n-2}}.5+....+{{5}^{n-1}})=59.({{64}^{n-1}}+{{64}^{n-2}}.5+....+{{5}^{n-1}})\vdots 59$

Từ ${{118.5}^{n}}$ chia hết cho 59

${{64}^{n}}-{{5}^{n}}$ chia hết cho 59

Suy ra ${{118.5}^{n}}+8.({{64}^{n}}-{{5}^{n}})$ chia hết cho 59

Vậy ${{5}^{n+3}}-{{3.5}^{n+1}}+{{2}^{6n+3}}\vdots 59$


b) Ta có:
$a={{x}^{2}}-yz$

$b={{y}^{2}}-xz$

$c={{z}^{2}}-xy$

Suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx=a+b+c\ne 0$ (vì $x,y,z$ khác nhau) (1) và

${{x}^{3}}-xyz=ax$

${{y}^{3}}-xyz=by$

${{z}^{3}}-xyz=cz$

Cộng các đẳng thức theo vế, ta được: ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=ax+by+cz$ (2)

Sử dụng hằng đẳng thức:

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=(x+y+z)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx)$ (3)

Từ (1) ; (2) và (3) ta được :

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=(x+y+z)(a+b+c)=$$ax+by+cz$

Do đó $ax+by+cz=(x+y+z)(a+b+c)$ chia hết cho $a+b+c$

Vậy $ax+by+cz$ chia hết cho $a+b+c$