a) Thừa số đầu tiên ở mẫu số của các số hạng lần lượt là: 1; 4; 7; 10; ………….
Áp dụng CT tính số hạng thứ n:
Số hạng thứ n = (Số số hạng – 1) $\times $ Khoảng cách + số đầu
Vậy thừa số đầu tiên ở mẫu số của số hạng thứ 100 là:
Số hạng thứ 100 = (100 – 1) $\times $ 3 + 1 = 298
Số hạng thứ 100 của dãy là: $\frac{3}{298\times 301}$
Tính tổng:
$\begin{align}
& \frac{3}{1\times 4}+\frac{3}{4\times 7}+\frac{3}{7\times 10}+\frac{3}{10\times 13}+......+\frac{3}{298\times 301} \\
& =\frac{4-1}{1\times 4}+\frac{7-4}{4\times 7}+\frac{10-7}{7\times 10}+.........+\frac{298-295}{295\times 298}+\frac{301-298}{298\times 301} \\
& =1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+.......+\frac{1}{295}-\frac{1}{298}+\frac{1}{298}-\frac{1}{301} \\
& =1-\frac{1}{301}=\frac{300}{301} \\
\end{align}$
b) Xét số hạng $\frac{3}{10300}$
Ta thấy: 10300 = 100 $\times $ 103
Đế xét xem số hạng $\frac{3}{10300}$có thuộc dãy số trên hay không, ta xét xem thừa số đầu tiên của mẫu số có thuộc dãy 1; 4; 7; 10; ……….. hay không, nghĩa là xét xem 100 có thuộc dãy 1; 4; 7; 10; …. hay không.
Áp dụng công thức tính số số hạng, với số cuối là 100, ta có:
Số số hạng = (số cuối – số đầu) : khoảng cách + 1
Số số hạng = (100 – 1) : 3 + 1 = 34
Vậy số 100 thuộc dãy 1; 4; 7; 10; …………….. và là số hạng thứ 34 của dãy.
Do đó, $\frac{3}{10300}$ là một số hạng của dãy phân số trên và là số hạng thứ 34.