${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6b+4{{c}^{2}}-4c+10=0$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+({{b}^{2}}-6b+9)+\left( 4{{c}^{2}}-4c+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}+{{(2c-1)}^{2}}=0$

Vì ${{a}^{2}}\ge 0;\,{{(b-3)}^{2}}\ge 0;\,{{(2c-1)}^{2}}\ge 0\,\,$ với mọi $a,b,c$nên
${{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}+{{(2c-1)}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}=0 \\ & {{(b-3)}^{2}}=0 \\ & {{(2c-1)}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.$$\left\{ \begin{align}& a=0 \\
& b=3 \\ & c=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$

Vậy $a=0;\,\,b=3;\,\,c=\frac{1}{2}$

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6b+4{{c}^{2}}-4c+10=0$
${{a}^{2}}+\left( {{b}^{2}}-2.b.3+{{3}^{2}} \right)+\left( 4{{c}^{2}}-4c+1 \right)=0$
${{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2c-1 \right)}^{2}}=0$
Có tổng của 3 số không âm bằng 0 khi và chỉ khi 3 số bằng 0.
Vậy $a=0,\quad b=3,\quad c=\frac{1}{2}.$