Giải phương trình $\sqrt{x+{{x}^{2}}}+\sqrt{x-{{x}^{2}}}=x+1$

Giải

$\sqrt{x+{{x}^{2}}}+\sqrt{x-{{x}^{2}}}=x+1$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+{{x}^{2}}}+2\sqrt{x-{{x}^{2}}}=2x+2$

$\Leftrightarrow (x+{{x}^{2}}-2\sqrt{x+{{x}^{2}}}+1)+(x-{{x}^{2}}-2\sqrt{x-{{x}^{2}}}+1)=0$

$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x+{{x}^{2}}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{x-{{x}^{2}}}-1 \right)}^{2}}=0$

Vì ${{\left( \sqrt{x\pm {{x}^{2}}}-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\forall x$ nên ta có $\left\{ \begin{align}& \sqrt{x+{{x}^{2}}}-1=0\,\,(1) \\ & \sqrt{x-{{x}^{2}}}-1=0\,\,(2) \\
\end{align} \right.$

Giải (1) : $\sqrt{x+{{x}^{2}}}-1=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+{{x}^{2}}}=1$

$\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}=1$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

Giải (2) vô nghiệm.

Vậy $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$