$A=4+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{19}}+{{2}^{20}}$

$A=2+{{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{19}}+{{2}^{20}}$

$2A=2.\left( 2+{{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{19}}+{{2}^{20}} \right)$

$2A=4+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{19}}+{{2}^{20}}+{{2}^{21}}$

$2A-A=4+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{20}}+{{2}^{21}}-\left( 4+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{19}}+{{2}^{20}} \right)$

$A={{2}^{21}}={{2}^{2n+1}}$

$\Leftrightarrow 2n+1=21$

$\Leftrightarrow n=10$