Giải

a) $M={{3}^{2017}}-{{3}^{2016}}+{{3}^{2015}}-{{3}^{2014}}+....+3-1$

$M={{3}^{2016}}.\left( 3-1 \right)+{{3}^{2014}}.\left( 3-1 \right)+{{3}^{2012}}\left( 3-1 \right)+....+(3-1)$

$M={{3}^{2016}}.2+{{3}^{2014}}.2+{{3}^{2012}}.2+....+2$

$M=2.({{3}^{2016}}+{{3}^{2014}}+{{3}^{2012}}+....+1)$ chia hết cho 2.

Vậy M chia hết cho 2.

b) $M={{3}^{2017}}-{{3}^{2016}}+{{3}^{2015}}-{{3}^{2014}}+....+3-1$

$3M=3.\left( {{3}^{2017}}-{{3}^{2016}}+{{3}^{2015}}-{{3}^{2014}}+....+3-1 \right)$

$3M={{3}^{2018}}-{{3}^{2017}}+{{3}^{2016}}-{{3}^{2015}}+....+{{3}^{2}}-3$

$3M+M={{3}^{2018}}-{{3}^{2017}}+{{3}^{2016}}-{{3}^{2015}}+....+{{3}^{2}}-3+{{3}^{2017}}+{{3}^{2016}}-{{3}^{2015}}+....+3-1$

$4M={{3}^{2018}}-1$

$16M=4.\left( {{3}^{2018}}-1 \right)$

Ta có: ${{3}^{2018}}-1={{({{3}^{4}})}^{504}}{{.3}^{2}}-1=\overline{....1}\times 9-1=\overline{....9}-1=\overline{....8}$

Do đó: $4.\left( {{3}^{2018}}-1 \right)=\overline{....2}$

Vậy chữ số tận cùng của 16$M$là 2.

c) Ta có $4M={{3}^{2018}}-1$ có tận cùng là 8 suy ra M có tận cùng là 2 hoặc 7

Do đó M chia 5 dư 2

d) $36M+9={{9}^{n}}$

$\Leftrightarrow 9.\left( {{3}^{2018}}-1 \right)+9={{9}^{n}}$

$\Leftrightarrow {{9.3}^{2018}}={{9}^{n}}$

$\Leftrightarrow {{3}^{2}}{{.3}^{2018}}={{3}^{2n}}$

$\Leftrightarrow {{3}^{2020}}={{3}^{2n}}$

$\Leftrightarrow 2n=2020$

$\Leftrightarrow n=1010$

Vậy $n=1010$