Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$

Bài giải

$A=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$

$A=\sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(x-1)-6\sqrt{x-1}+9}$

$A=\sqrt{{{\left( \sqrt{x-1}+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \sqrt{x-1}+3 \right)}^{2}}}$

$A=\left| \sqrt{x-1}+1\, \right|+\left| \sqrt{x-1}+3\, \right|$

$A=\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}+3$

$A=2\sqrt{x-1}+4$

Vì $\sqrt{x-1}\ge 0\,\,\,\forall x$ nên $A=2\sqrt{x-1}+4\ge 4\,\,\forall x$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$

Vậy GTNN của A = 4 khi x = 1