${{\left( 2n-1 \right)}^{3}}-\left( 2n-1 \right)$
$=\left( 2n-1 \right)\left[ {{\left( 2n-1 \right)}^{2}}-1 \right]$
$=\left( 2n-1 \right)2n\left( 2n-2 \right)$
$=4n\left( n-1 \right)\left( 2n-1 \right)$
Ta thấy $n(n – 1)$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên $n(n – 1)$ chia hết cho 2, do đó 4 $n(n – 1)$ chia hết cho 8, khi đó 4$n(n – 1)(2n – 1)$ chia hết cho 8.
Vậy ta có điều phải chứng minh.