$\begin{align}
& A={{x}^{4}}+5{{y}^{2}}+2x+6y+34 \\
& ={{x}^{4}}+2x+1+{{y}^{2}}+6y+9+4{{y}^{2}}+24 \\
& ={{x}^{4}}+2x+1+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+4{{y}^{2}}+24 \\
\end{align}$
Ta có $\left\{ \begin{align}
& {{\left( y+3 \right)}^{2}}\ge 0 \textrm{ }\forall y\in \mathbb{R} \\
& 4{{y}^{2}}\ge 0\textrm{ }\forall y\in \mathbb{R} \\
\end{align} \right.$
Xét $x\ge 0$, khi đó ${{x}^{4}}+2x+1 > 0$, khi đó $A > 0$.
Xét $–1 < x < 0$, khi đó ${{x}^{4}}+2x+1+24>0$, khi đó $A > 0$.
Xét $x < –1$, khi đó ${{x}^{4}}+2x+1>{{x}^{2}}+2x+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}>0$ khi $x < –1$, hay $A > 0$.
Vậy ta luôn có $A > 0$.