a) $AB // CD$ nên $\widehat{BAD}+\widehat{ADC}={{180}^{{}^\circ }}$
$AE, DE$ lần lượt là phân giác của $\widehat{BAD}$ và $\widehat{ADC}$ nên $\widehat{EAD}=\frac{\widehat{BAD}}{2},\,\,\widehat{ADE}=\frac{\widehat{ADC}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{EAD}+\widehat{ADE}={{90}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{AED}={{90}^{{}^\circ }}$
Xét ∆$AED$ vuông tại $E$ có $M$ là trung điểm của $AD$ nên $EM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, do đó $EM=AM=MD=\frac{AD}{2}$
∆$MAE$ có $MA = ME$ nên ∆$MAE$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{MAE}=\widehat{MEA}$
Ta lại có $\widehat{AME}+\widehat{MAE}+\widehat{MEA}={{180}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{AME}={{180}^{{}^\circ }}-2\widehat{MAE}$
Mà $\widehat{MAB}=2\widehat{MAE}$ ($AE$ là phân giác của $\widehat{A}$) nên $\widehat{AME}+\widehat{MAB}={{180}^{{}^\circ }}$
Mà 2 góc này nằm ở vị trí trong cùng phía nên $ME // AB$
Tương tự ta suy ra ∆$BFC$ vuông tại $F$ và $FN // AB$
$M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $MN // AB.$
Ta có $\left\{ \begin{align}
& ME//AB \\
& FN//AB \\
& MN//AB \\
\end{align} \right.$ suy ra $M, E, F, N$ thẳng hàng.
b) $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{a+b}{2}$
$ME$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền của ∆$AED$ nên $ME=\frac{AD}{2}=\frac{d}{2}$
c) $FN$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền của ∆$BFC$ nên $FN=\frac{BC}{2}=\frac{c}{2}$
Suy ra $EF\text{ }=\text{ }MN\text{ }\text{ }ME\text{ }\text{ }FN=\frac{a+b}{2}-\frac{c}{2}-\frac{d}{2}=\frac{a+b}{2}-\frac{c+d}{2}$
Nếu $a + b = c + d$ thì $EF = 0$.
Vậy $E$ trùng $F$.