a) Tứ giác $DEFB$ có: $\left\{ \begin{align}
& EF//BD \\
& BF//ED \\
\end{align} \right.$ nên $DEFB$ là hình bình hành
$\Rightarrow BF=DE$
$AB // DE$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{ADE}$ (so le trong)
Mà $\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ nên $\widehat{EAD}=\widehat{ADE}$.
∆$ADE$ có $\widehat{EAD}=\widehat{ADE}$ nên ∆$ADE$ cân tại $E$ hay $AE = DE$.
Mà $BF = DE$ nên $BF = AE$.
b) $\widehat{DAE}=\frac{\widehat{BAC}}{2}$, $\widehat{EAG}=\frac{\widehat{EAx}}{2} \Rightarrow \widehat{DAE}+\widehat{EAG}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{EAx}}{2}\Rightarrow \widehat{DAG}={{90}^{{}^\circ }}$ hay $GA\bot AD$
Xét ∆$ADG$:
$\left\{ \begin{align}
& \widehat{EAD}+\widehat{EAG}={{90}^{{}^\circ }} \\
& \widehat{ADE}+\widehat{AGE}={{90}^{{}^\circ }} \\
\end{align} \right.$
Mà $\widehat{EAD}=\widehat{ADE}$ (cmt) nên $\widehat{EAG}=\widehat{AGE}$
∆$AGE$ có $\widehat{EAG}=\widehat{AGE}$ nên ∆$AGE$ cân tại $E$ hay $AE = EG$.
∆$ADG$ vuông tại $A$ có $AE = DE = EG$, mà $DE + EG = DG$.
Vậy $AE$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $DG$ và $E$ là trung điểm của $DG$.
c) $\left\{ \begin{align}
& GA\bot AD \\
& DK\bot AD \\
\end{align} \right.\Rightarrow GA//DK$
$\Rightarrow \widehat{GAD}+\widehat{ADK}={{180}^{{}^\circ }}$ (2 góc trong cùng phía)
Mà $\widehat{GAD}={{90}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{ADK}={{90}^{{}^\circ }}$ hay $AD\bot HK$.
$GA // DK$ nên $GADK$ là hình thang.
Mà $GADK$ có 2 góc vuông nên $GADK$ là hình chữ nhật.
$GADK$ là hình chữ nhật có $E$ là trung điểm của đường chéo $DG$ nên $E$ là trung điểm của $AK$.
∆$AHK$ có $AD$ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao nên ∆$AHK$ cân tại $A$.
Suy ra $AH = AK$.
Xét ∆$ADK$ vuông tại $D$ có $E$ là trung điểm $AK$ nên $DE=\frac{AK}{2}$
Mà $AH = AK, DE = FB$ nên $FB=\frac{AH}{2}$ hay $AH = 2FB$.
d) ∆$AHK$ cân tại $A$, $AD$ là đường phân giác nên $AD$ là đường trung tuyến, do đó $HD = DK$.
$GADK$ là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{align}
& GA=DK \\
& GA//DK \\
\end{align} \right.$
Mà $HD = DK$ nên $\left\{ \begin{align}
& GA=HD \\
& GA//HD \\
\end{align} \right.$
$\Rightarrow GAHD$ là hình bình hành.
$EI // AD$ nên $EI // GA$.
Xét ∆$DAG$: $EI // AG$, $E$ là trung điểm của $DG$ nên $EI$ là đường trung bình của ∆$DAG$ và $I$ là trung điểm của $AD$.
$GAHD$ là hình bình hành có $I$ là trung điểm của đường chéo $AD$ nên $I$ là giao điểm của 2 đường chéo $AD$ và $HG$, tức $H, I, G$ thẳng hàng.
Vậy ta có điều phải chứng minh.