Bài 4.
a) $\overline{ab}.\overline{cb}=\overline{ddd}$
Xét phép nhân $b.b$, ta thu được 1 số có tận cùng là $d$.
Vậy $b\ne 1,b\ne 5,b\ne 6$ vì nếu $b$ = 1 hoặc 5 hoặc 6 thì $b.b$ sẽ có kết quả 1 số có tận cùng là $b$. Mà các chữ số là khác nhau nên loại.
Xét $b$ = 2 khi đó $\overline{a2}.\overline{c2}=444$
Chữ số hàng trăm là 4 nên $a.c\le 4$.
Xét các bộ (1, 2) (1, 3) (1, 4) được các tích 12.22, 12.32, 12.42 đều không có tích nào có giá trị bằng 444.
Xét $b$ = 3 khi đó $\overline{a3}.\overline{c3}=999$
Tương tự chữ số hàng trăm là 9 nên $a.c\le 9$.
Xét các bộ như trên ta không có tích nào thỏa mãn
Tương tự xét trường hợp $b$ = 4 cũng không có giá trị thỏa mãn.
Trường hợp $b$ = 7 ta thu được bộ số là 27 . 37 = 999 (thỏa mãn).
Trường hợp $b$ = 8, ta đánh giá rằng 18. 28 = 504 > 444 nên không có số nào thỏa mãn. (Khi đó ta không cần xét các bộ số còn lại)
Tương tự với trường hợp $b$ = 9, ta đánh giá rằng 19. 29 = 551 > 111 nên không có số nào thỏa mãn.
b) $\overline{ab}.\overline{cd}=\overline{bbb}$
Ta thấy $b\ne 1$ vì nếu $b$ = 1 thì $b. d = d$. Mà $b.d = b$ do đó $b\ne 1$
Xét $b$ = 2 thì $d$ = 1 hoặc $d$ = 6.
Sử dụng phương pháp đánh giá các bộ số như ý a, trường hợp này ta không có số thỏa mãn.
Xét $b$ = 3 thì $d$ = 1
Đánh giá, ta không tìm được số thỏa mãn.
Xét $b$ = 4 thì $d$ = 1 hoặc $d$ = 6
Đánh giá, ta không tìm được số thỏa mãn.
Xét $b$ = 5 thì $d$ = 1 hoặc $d$ = 3 hoặc $d$ = 7 hoặc $d$ = 9 ($d\ne 5$ vì $d\ne b$)
Tương tự xét các trường hợp $b$ khác, ta thu được kết quả là 37.21 = 777.
c) $\overline{abcdeg }.6=\overline{deg abc}$
$\left( \overline{abc}.1000+\overline{deg} \right).6=\overline{deg }.1000+\overline{abc}$
$\overline{abc}.5999=\overline{deg }.994$
$\overline{abc}.857=\overline{deg }.142$
Vậy $\overline{\deg }=857,\overline{abc}=142.$
Bài 5.
a) $\overline{abc}:11=a+b+c$
$\Rightarrow a.100+b.10+c=a.11+b.11+c.11$
$\Rightarrow a.89-b=c.10$
Ta thấy $c\le 9\Rightarrow c.10\le 90$
Nếu $a\ge 2$ thì $a.89-b > 100$, khi đó dấu bằng sẽ không xảy ra.
Mà $a$ là chữ số hàng trăm nên $a\ne 0$, do đó $a$ = 1
$\left( c.10 \right)\vdots 10$ nên $\left( 89-b \right)\vdots 10$, mà $0\le b\le 9$ nên $b$ = 9, suy ra $c$ = 8.
Vậy số cần tìm là 198.
b) $\left( \overline{ab}+\overline{cd} \right)\left( \overline{ab}-\overline{cd} \right)=2002$
$\overline{ab}+\overline{cd}$ là tổng của 2 số có 2 chữ số nên $\overline{ab}+\overline{cd}$ < 200.
Ta có các bộ số có tích bằng 2002 và chứa các thừa số nhỏ hơn 200 là (11, 182), (13, 154), (14, 143), (22, 91), (26, 77).
Ta thấy $\left( \overline{ab}+\overline{cd} \right)+\left( \overline{ab}-\overline{cd} \right)=2\overline{ab}$, tức là các tổng của các bộ số phải là 1 số chẵn.
Mà tất cả các bộ trên, không có bộ nào có tổng là số chẵn.
Vậy không có số nào thỏa mãn đề bài.