Bài 1.
a) $\overline{acc}.b=\overline{dba}$
Ta thấy số lẻ = số lẻ . số lẻ do đó a là số lẻ thì b, c là số lẻ.
Nếu $b,c\in \left\{ 1,5 \right\}$ thì $a = b$ hoặc $a = c$ (loại vì các chữ số là khác nhau)
Vậy $b,c\in \left\{ 3,7,9 \right\}$. Khi đó $a\in \left\{ 1,5 \right\}$.
Nếu $a = 5$ thì $b$ hoặc $c$ bằng 5 (loại).
Vậy $a = 1.$
$b.c$ có kết quả là số có tận cùng là 1 nên $b = 3, c = 7$ hoặc $b = 7, c = 3.$
Xét $(a, b, c) = (1, 3, 7).$ Khi đó $\overline{acc}.b=177.3=531,\overline{dba}=\overline{d31}$. Vậy $d = 5$ (thỏa mãn)
Xét $(a, b, c) = (1, 7, 3).$ Khi đó $\overline{acc}.b=133.7=931,\overline{dba}=\overline{d71}$. (loại).
Vậy $a = 1, b = 3, c = 7, d = 5.$
b) $\overline{ac}.\overline{ac}=\overline{acc}$
$\begin{align}
& \Rightarrow \left( a.10+c \right)\left( a.10+c \right)=a.100+c.11 \\
& \Rightarrow a.100+a.c.20+c.c=a.100+c.11 \\
& \Rightarrow a.c.20=c.11 \\
\end{align}$
Nếu $c = 0$ thì $\overline{a0}.\overline{a0}=\overline{a00}\Rightarrow a.a=a\Rightarrow a=1$
Nếu $c\ne 0$ thì $a.20=11$ (vô lý vì a là số tự nhiên)
Vậy $a = 1, c = 0.$
c) $\overline{ab}.\overline{ab}=\overline{acc}$
$\begin{align}
& \Rightarrow \left( a.10+b \right)\left( a.10+b \right)=a.100+c.11 \\
& \Rightarrow a.100+a.b.20+b.b=a.100+c.11 \\
& \Rightarrow a.c.20+b.b=c.11 \\
\end{align}$
Nếu $c = 0$ thì $b = 0.$ Khi đó $\overline{a0}.\overline{a0}=\overline{a00}\Rightarrow a.a=a\Rightarrow a=1$
Nếu $c\ne 0$ thì $a.20+\frac{b.b}{c}=11$ (vô lý vì a là số tự nhiên, a.20 > 11)
Vậy $a = 1, b = c = 0.$
Bài 2.
a) $\overline{1ab}.2=\left( 100+\overline{ab} \right).2$
$\overline{ab} < 100\Rightarrow \left( 100+\overline{ab} \right).2 < \left( 100+100 \right).2=400 < 1000 < \overline{abc8}$
Vậy không có số nào thỏa mãn đề bài.
b) $\overline{ab}=9b$
Lập bảng giá trị của $b$, ta thu được $b = 5$, $\overline{ab}=45$.
Bài 3. $\overline{abcdeg }.4=\overline{gabcde}$ và $\overline{abcde}+g=15930$
Xét $\overline{abcde} + g =15930, e + g$ có tận cùng bằng 0 tức $e + g = 10$ suy ra $e = 10 – g$, do đó $d + 1 = 3$ hay $d = 2, a = 1, b = 5, c = 9.$
Khi đó $\overline{abcdeg}.4=\overline{1592eg}.4$, $\overline{gabcde}=\overline{g1592e}$
Ta có: $\overline{1592eg}.4=\overline{g1592e}\Rightarrow \left( 159200+\overline{eg} \right).4=g.100000+15920+e$
$\Rightarrow 620880+e.40+g.4=g.100000+e$
$\Rightarrow 620880+(10-g).39=g.99996$
$\Rightarrow 621270=100035.g$
621270 không chia hết cho 100035 nên không tồn tại $g$ thỏa mãn đề bài, do đó không tồn tại $e$ thỏa mãn đề bài.