Giải
a) $A={{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+....+{{2}^{2010}}$

$2A=2.\left( {{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+....+{{2}^{2010}} \right)$

$2A={{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+....+{{2}^{2010}}+{{2}^{2011}}$

$2A-A={{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+....+{{2}^{2010}}+{{2}^{2011}}-\left( {{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+....+{{2}^{2010}} \right)$

$A={{2}^{2011}}-2$

b) $A={{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+....+{{2}^{2010}}$

$A=({{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}})+({{2}^{4}}+{{2}^{5}}+{{2}^{6}})....+({{2}^{2008}}+{{2}^{2009}}+{{2}^{2010}})$

$A=14+{{2}^{3}}.14+....+{{2}^{2007}}.14$

$A=14.\left( 1+{{2}^{3}}+....+{{2}^{2007}} \right)$

Vì 14 chia hết cho 7 nên $14.\left( 1+{{2}^{3}}+....+{{2}^{2007}} \right)$ chia hết cho 7

Vậy A chia hết cho 7

Em cảm ơn cô giáo nhiều . Nhưng cô ơi,em không hiểu bài 17 ạ