a) $A=1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+.....+{{2}^{99}}$

$2A=2.\left( 1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+.....+{{2}^{99}} \right)$

$2A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+.....+{{2}^{99}}+{{2}^{100}}$

$2A-A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+.....+{{2}^{99}}+{{2}^{100}}-\left( 1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+.....+{{2}^{99}} \right)$

$A={{2}^{100}}-1$

b) $A=1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+.....+{{2}^{99}}$

$A=\left( 1+2 \right)+\left( {{2}^{2}}+{{2}^{3}} \right)+....+\left( {{2}^{88}}+{{2}^{99}} \right)$

$A=3+{{2}^{2}}\left( 1+2 \right)+....+{{2}^{88}}\left( 1+2 \right)$

$A=3+{{2}^{2}}.3+...{{.2}^{88}}.3$

$A=3.\left( 1+{{2}^{2}}+....+{{2}^{88}} \right)$ chia hết cho 3

Vậy A chia hết cho 3

c) $A={{2}^{100}}-1={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{25}}-1$

Ta có : ${{2}^{4}}$ có tận cùng bằng 6 , ${{\left( {{2}^{4}} \right)}^{25}}$ có tận cùng là 6

Suy ra ${{\left( {{2}^{4}} \right)}^{25}}-1$ có tận cùng là 5 .

Vậy A chia hết cho 5