Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $MD$.
a) $\widehat{BDC}={{30}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{BDA}={{60}^{{}^\circ }}$
$MD$ là phân giác của $\widehat{BDA}$ nên $\widehat{BDC}=\widehat{BDM}=\widehat{MDA}={{30}^{{}^\circ }}$
hay $BD$ là tia phân giác của $\widehat{CDM}$.
∆$CDM$ có $DE$ vừa là phân giác, vừa là đường cao nên ∆$CDM$ cân tại $D$.
$\Rightarrow MD=DC$
Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $DC = AB$ hay $MD = AB$
Xét ∆$ADB$: $\widehat{IBD}={{90}^{{}^\circ }}-{{60}^{{}^\circ }}={{30}^{{}^\circ }}$
Xét ∆$IBD$ có $\widehat{IDB}=\widehat{IBD}={{30}^{{}^\circ }}$ nên ∆$IBD$ cân tại $I$ hay $ID = IB$.
Mà $AB = MD$ nên $AB – IB = MD – ID$ hay $IA = IM$.
Xét ∆$IAM$: $2\widehat{IAM}+\widehat{AIM}={{180}^{{}^\circ }}$
Xét $∆IBD:$ $2\widehat{IBD}+\widehat{BID}={{180}^{{}^\circ }}$
Mà $\widehat{AIM}=\widehat{BID}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{IAM}=\widehat{IBD}$.
Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên $AM // BD$ hay $AMBD$ là hình thang.
Hình thang $AMBD$ có 2 đường chéo $AB = MD$ nên $AMBD$ là hình thang cân.
b) $\left\{ \begin{align}& MK\bot AB \\ & DN\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow MK//DN$ hay $MK//AN$
$MK // AN$ nên $\widehat{MKN}=\widehat{ANK}$ (so le trong)
Ta lại có $\widehat{NKA}=\widehat{EKB}$
Mà $\widehat{ANK}+\widehat{NKA}={{90}^{{}^\circ }}$ nên $\widehat{MKN}+\widehat{EKB}={{90}^{{}^\circ }}$
$\Rightarrow \widehat{MKN}+\widehat{EKB}+\widehat{MKB}={{180}^{{}^\circ }}$
Vậy $N, K, E$ thẳng hàng.