Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0, sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó gấp lên 9 lần.

Giải

Gọi số cần tìm là $\overline{xab}$ ( x là số trăm, a là số chục, b là số đơn vị )
Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số $\overline{xa0b}$

Số mới gấp 9 lần số ban đầu nên ta có:
$\overline{xa0b}$ = $9\times \overline{xab}$
$x\times 1000+a\times 100+b=9\times \left( x\times 100+a\times 10+b \right)$

$x\times 1000+a\times 100+b=x\times 900+a\times 90+9\times b$

$x\times 100+a\times 10=8\times b$

$x\times 50+a\times 5=4\times b$ (1)

Ta có $b\le 9$ nên $4b\le 36$, do đó $x\times 50+a\times 5\le 36$

Suy ra $x=0$ và $a\times 5\le 36$ hay $a\le 36:5=7,2$

Thay $x=0$ vào (1) ta được $a\times 5=4\times b$

Vì $a\times 5$ chia hết cho 5 nên $4\times b$ chia hết cho 5 suy $b=0$ hoặc $b=5$

Nếu $b=0$ suy ra a = 0 ( loại)

Nếu $b=5$ suy ra a = 4 . Số đó là 45