∆ABC cân tại A, có đường cao AD nên AD cũng là trung tuyến ứng với BC.
a) Tứ giác BHAD có I là giao điểm của 2 đường chéo tại trung điểm của mỗi đường nên BHAD là hình bình hành. Mà $AD\bot BC$ nên $\widehat{ADB}={{90}^{{}^\circ }}$.
Hình bình hành BHAD có 1 góc vuông nên BHAD là hình chữ nhật.
Tương tự tứ giác DCKA có O là giao điểm của 2 đường chéo tại trung điểm của mỗi đường và $\widehat{ADC}={{90}^{{}^\circ }}$ nên DCKA là hình chữ nhật.
b) BDAH là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{align}& BD=AH \\ & BD//AH \\ \end{align} \right.$
DCKA là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{align}& DC=AK \\ & DC//AK \\ \end{align} \right.$
Mà BD = DC và D nằm giữa B, C nên H, A, K thẳng hàng và AH = AK.
$\Rightarrow BD+DC=HA+AK\Rightarrow BC=HK$
Xét ∆ABC có $\left\{ \begin{align}& I\textrm{ là trung điểm }AB \\ & O\textrm{ là trung điểm }AC \\ \end{align} \right. \Rightarrow $ IO là đường trung bình của ∆ABC
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& IO//BC \\ & IO=\frac{BC}{2} \\ \end{align} \right.$
Mà $\left\{ \begin{align}& HA//BC \\ & HA=\frac{BC}{2} \\ \end{align} \right. $$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& HA=IO \\ & HA//IO \\ \end{align} \right.$
Vậy HAOI là hình bình hành.
c) Từ phần b ta có H, A, K thẳng hàng và AH = AK nên A là trung điểm của HK.