a) Vì O cách đều 3 cạnh của tam giác nên OD = OE = OF
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OBF và tam giác vuông ODB ta có:
$BF=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{F}^{2}}}$
$BD=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{D}^{2}}}$
Mà OF = OD nên BF = BD.
Tương tự áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OEC và tam giác vuông ODC suy ra CE = CD
∆BAM có AB = BM nên ∆BAM là tam giác cân tại B $\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{BMA}$
Xét ∆BAM có BF = BD, BA = BM nên theo định lý Ta – lét ta có :
$\frac{BF}{BA}=\frac{BD}{BM} \Rightarrow DF//AM \Rightarrow$ DFAM là hình thang
Hình thang DFAM có $\widehat{FAM}=\widehat{AMD}$ nên DFAM là hình thang cân
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& MF=AD \\ & AF=MD \\ \end{align} \right.$
∆ANC có AC = CN nên ∆ANC cân tại C$\Rightarrow \widehat{CAN}=\widehat{CNA}$
Xét ∆ANC có CE = CD, CA = CN nên theo định lý Ta – lét ta có :
$\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CN} \Rightarrow DE//AN \Rightarrow $ DEAN là hình thang
Hình thang DEAN có $\widehat{CAN}=\widehat{CNA}$ nên DEAN là hình thang cân
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& NE=AD \\ & AE=ND \\ \end{align} \right.$
$\Rightarrow MF=NE$
b) Xét ∆OEA và ∆ODN ta có :
$\left\{ \begin{align}& OE=OD \\ & \widehat{OEA}=\widehat{ODN} \\ & EA=DN \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \Delta OEA=\Delta ODN(c-g-c)\Rightarrow ON=OA$
Xét ∆OAF và ∆OMD ta có :
$\left\{ \begin{align}& AF=MD \\ & \widehat{OFA}=\widehat{ODM} \\ & OF=OD \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \Delta OAF=\Delta ODM(c-g-c) \Rightarrow OA=OM$
$\Rightarrow OM=ON$ hay ∆MON cân tại O.