Tam giác ABC cân tại A mà $AH$ là đường cao $\Rightarrow AH$ là phân giác của $\widehat{BAC}$
$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$
$H$ đối xứng với $I$ qua $AB$ $\Rightarrow AB$ là trung trực của $HI$
$\Rightarrow \Delta AIH$ cân tại $A$ mà $AB$ vuông góc $IH\Rightarrow AB$ là phân giác của $\widehat{IAH}$
$\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{HAB}$
Tương tự $\widehat{HAC}=\widehat{NAC}$
$\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{NAH}$
Xét $\Delta MAH$ và $\Delta NAH$ có:
$\widehat{MAH}=\widehat{NAH}$
$AH$ chung
$\widehat{AHM}=\widehat{AHN}={{90}^{o}}$
$\Rightarrow \Delta MAH=\Delta NAH$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
$\Rightarrow MH=NH$ (2 canh tương ứng)
Mà $AH\bot MN\Rightarrow M$ đối xứng với $N$ qua $AH$.