Giả sử trong tứ giác không tồn tại cặp góc nào có tổng nhỏ hơn hoặc bằng ${{180}^{{}^\circ }}$, tức là tổng 2 góc bất kỳ trong tứ giác đều lớn hơn ${{180}^{{}^\circ }}$.
Khi đó ta có :
$\begin{align}& \widehat{A}+\widehat{B}>{{180}^{{}^\circ }} \\ & \widehat{B}+\widehat{C}>{{180}^{{}^\circ }} \\ & \widehat{C}+\widehat{D}>{{180}^{{}^\circ }} \\ & \widehat{D}+\widehat{A}>{{180}^{{}^\circ }} \\ \end{align}$
$\Rightarrow 2\left( \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D} \right)>{{720}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}>{{360}^{{}^\circ }}$
Mà tổng các góc trong 1 tứ giác bằng ${{360}^{{}^\circ }}$ nên điều giả sử sai.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Giả sử trong tứ giác không tồn tại cặp góc nào có tổng nhỏ hơn hoặc bằng
180
∘
, tức là tổng 2 góc bất kỳ trong tứ giác đều lớn hơn
180
∘
.
Khi đó ta có :
ˆ
A
+
ˆ
B
>
180
∘
ˆ
B
+
ˆ
C
>
180
∘
ˆ
C
+
ˆ
D
>
180
∘
ˆ
D
+
ˆ
A
>
180
∘

⇒
2
(
ˆ
A
+
ˆ
B
+
ˆ
C
+
ˆ
D
)
>
720
∘
⇒
ˆ
A
+
ˆ
B
+
ˆ
C
+
ˆ
D
>
360
∘

Mà tổng các góc trong 1 tứ giác bằng
360
∘
nên điều giả sử sai.
Vậy ta có điều phải chứng minh.