Giả sử phản chứng rằng 3 số $a,b,c$ không đồng thời là các số dương, tức là trong 3 số có tồn tại ít nhất 1 số dương.
Mà $abc>0$ nên trong 3 số sẽ có 2 số âm và 1 số dương.
Giả sử rằng $a$ là số dương, $b$ và $c$ là các số âm.
Khi đó $a+b+c>0 \Rightarrow a>\left| b+c \right|>0$
$ab+bc+ca=b\left( a+c \right)+ca$
Ta thấy $a+c > 0, b < 0 \Rightarrow b\left( a+c \right) < 0,$
$c < 0, a > 0 \Rightarrow ca < 0$
$\Rightarrow b\left( a+c \right)+ca < 0 \Rightarrow ab+bc+ca < 0$(trái với giả thiết của đề bài)
Vậy ta có điều phải chứng minh.