Xét ${{x}^{2}}+ax+b=0\Rightarrow {{\vartriangle }_{1}}={{a}^{2}}-4b$
Xét ${{x}^{2}}+cx+d=0\Rightarrow {{\vartriangle }_{2}}={{c}^{2}}-4d$
Ta có $ac\ge 2\left( b+d \right)\Rightarrow 2ac-4\left( b+d \right)\ge 0$
Mà ${{\left( a-c \right)}^{2}}\ge 0\,\,\,\,\,\forall a,\,\,c\in \mathbb{R}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2ac\,\,\,\,\,\forall a,\,\,c\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-4\left( b+d \right)\ge 2ac-4\left( b+d \right)\ge 0$
$\Rightarrow {{\vartriangle }_{1}}+{{\vartriangle }_{2}}\ge 0$
Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.