Ta có:
$P=\sqrt{x+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}y}}+\sqrt{y+\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}x}}+\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+1}$
$P=\sqrt{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\left( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+1 \right)}+\sqrt{\sqrt[3]{{{y}^{2}}}\left( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+1 \right)}+\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+1}$
$P=\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+1}\left( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+1 \right)$
đặt $\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+1}=t$ $\left( t\ge 0 \right)$
$\Rightarrow P=t.{{t}^{2}}$
$P={{t}^{3}}$
$\Rightarrow t=\sqrt[3]{P}$
$\Rightarrow \sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+1}=\sqrt[3]{P}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+1=\sqrt[3]{{{P}^{2}}}$ (đpcm)