Lũy thừa là một phép toán thực hiện trên hai số a, b, ký hiệu là ab, đọc là lũy thừa bậc b của a, khi đó, a được gọi là cơ số, b được gọi là số mũ..

Cho n là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a:


an=na×a…×a

Với a≠0
Lũy thừa của sốa≠0 với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó:

a−1=1a

Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm m=−n là

am=a−n=1an.



Ví dụ:

3−2=132=13.3=19.

Lũy thừa với số mũ 0 của số a

1=anan=an−n=a0

Lũy thừa của 0 và 1
0m=0.

1m=1.

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương
Cho a là số thực dương và số hữu tỉmn , lũy thừa với số mũ hữu tỉ mn là số amn được định nghĩa là:

amn=(am)1n=am−−−√n

định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức có nghĩa.

Căn bậc n của một số thực dương
Phép khai căn hay một căn bậc n của số a là một số x sao cho xn=a

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương, x không âm thì có đúng một số thực dương x sao cho xn=a
x được gọi là căn số học bậc n của a, ký hiệu là n−−√a

trong đó √ là ký hiệu căn.

Lũy thừa với số mũ thực
Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỉ, do đó lũy thừa với số mũ thực x có thể định nghĩa qua giới hạn:

bx=limr→xbr

trong đó: r tiến tới x chỉ trong các giá trị hữu tỉ của r

Ví dụ:

x≈1.732

thì 5x≈51,732=5433250=5433−−−√250≈16,241

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng sử dụng logarit thay cho giới hạn của các số hữu tỉ

ax=ex.lna

với mọi số thực x và số thực dương a

Lũy thừa số mũ phức của số e
Căn cứ vào biểu diễn lượng giác của các số phức, lũy thừa số mũ phức của số e được định nghĩa như sau:

Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

eix=cosx+i.sinx

Sau đó với số phức z=x+y.i, ta có

ez=ex+yi=ex+eyi=ex(cosy+i.siny)

Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương
Các tính chất quan trọng nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

Nhân 2 lũy thừa cùng cơ số: am.an=am+n

Chia hai lũy thừa cùng cơ số
aman=am−n (aϵN∗,m≥n).

Lũy thừa của lũy thừa
(am)n=amn

Nhân hai lũy thừa cùng số mũ
am.bm=(ab)m

Chia 2 lũy thừa cùng số mũ
ambm=(ab)m

an−−√m=anmmϵN,m≥2,aϵR

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số, cùng số mũ
So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (> 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn:
m>n⇒am>an(a>1)

Nếu 2 lũy thừa có cùng cơ số (< 1):
m>n⇒am

Lũy thừa là một phép toán thực hiện trên hai số a, b, ký hiệu là ab, đọc là lũy thừa bậc b của a, khi đó, a được gọi là cơ số, b được gọi là số mũ..