Bài 4 :

a) Tìm giá trị lớn nhất $A=0,5-|x-3,5|$ và $B=\frac{1}{\left| 2x+\frac{1}{2} \right|-3}$


$A=0,5-|x-3,5|$
Ta có $|x-3,5|\,\ge 0\,\forall x\Rightarrow -|x-3,5|\,\le 0\,\forall x\Rightarrow 0,5\,-|x-3,5|\,\le 0,5\,\forall x$
Dâu “ = ” xảy ra $\Leftrightarrow x-3,5=0\Leftrightarrow x=3,5$
Vậy GTLN của A bằng 0,5 khi $x=3,5$

$B=\frac{1}{\left| 2x+\frac{1}{2} \right|-3}$

Ta có $\left| 2x+\frac{1}{2} \right|\,\ge 0\,\forall x\Rightarrow \left| 2x+\frac{1}{2} \right|-3\,\ge -3\,\forall x\Rightarrow \frac{1}{\left| 2x+\frac{1}{2} \right|-3}\le \frac{-1}{3}\,\forall x$
Dâu “ = ” xảy ra $\Leftrightarrow 2x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}$
Vậy GTLN của B bằng $-\frac{1}{3}$ khi $x=-\frac{1}{4}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất $C=1,7+\left| 3,4-x \right|$
Ta có $|3,4-x|\,\ge 0\,\forall x\Rightarrow 1,7\,+|3,4-x|\,\ge 1,7\,\forall x$
Dâu “ = ” xảy ra $\Leftrightarrow 3,4-x=0\Leftrightarrow x=3,4$
Vậy GTNN của C bằng 1,7 khi $x=3,4$

Bài 5 : Rút gọn biểu thức
a) $A=\,|x+1,3|-|x-2,5|$ với $x < -1,3$

b) $B=\left| -x+\frac{1}{7} \right|+\left| -x-\frac{3}{5} \right|-\frac{2}{6}$ với $-\frac{3}{5} < x < \frac{1}{7}$

c) $C=\,|x+1|+|x-3|$ với $x\ge 3$

d) $D=\left| x+3\frac{1}{2} \right|+|x|-3\frac{1}{2}$
Bài giải

a) $A=\,|x+1,3|-|x-2,5|$ với $x < -1,3$

Ta có $x < -1,3\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x+1,3 < 0 \\\& x-2,5 < 0 \\
\end{align} \right.$
Suy ra $A=\,-(x+1,3)-(2,5-x)=-x-1,3-2,5+x=-3,8$

b) $B=\left| -x+\frac{1}{7} \right|+\left| -x-\frac{3}{5} \right|-\frac{2}{6}$ với $-\frac{3}{5} < x < \frac{1}{7}$

Ta có$-\frac{3}{5} < x < \frac{1}{7}$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& -x+\frac{1}{7}>0 \\ & -x-\frac{3}{5} < 0 \\ \end{align} \right.$


Suy ra$B=-x+\frac{1}{7}+-\left( -x-\frac{3}{5} \right)-\frac{2}{6}=-x+\frac{1}{7}+x+\frac{3}{5}-\frac{2}{6}=\frac{43}{105}$

c) $C=\,|x+1|+|x-3|$ với $x\ge 3$

Ta có $x\ge 3\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x+1 > 0 \\ & x-3 > 0 \\
\end{align} \right.$

Suy ra $C=\,x+1\,+x-3=2x-2$

d) $D=\left| x+3\frac{1}{2} \right|+|x|-3\frac{1}{2}$

Trường hợp 1 : $x > 0\Rightarrow x+3\frac{1}{2} > 0$
$D=\left| x+3\frac{1}{2} \right|+|x|-3\frac{1}{2}$ $=x+3\frac{1}{2}+x-3\frac{1}{2}=2x$

Trường hợp 2 : $x < -3\frac{1}{2}\Rightarrow x < 0$ và $x+3\frac{1}{2} < 0$


$D=\left| x+3\frac{1}{2} \right|+|x|-3\frac{1}{2}$$=-\left( x+3\frac{1}{2} \right)+(-x)-3\frac{1}{2}=-2x-7$

Trường hợp 3 : $-3\frac{1}{2} < x < 0\Rightarrow x+3\frac{1}{2} > 0$ và $x+3\frac{1}{2} < 0$
$D=\left| x+3\frac{1}{2} \right|+|x|-3\frac{1}{2}$$=\left( x+3\frac{1}{2} \right)+(-x)-3\frac{1}{2}=0$