Đặt: $A=\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\frac{1}{{{a}_{3}}}+...+\frac{1}{{{a}_{2018}}}=1000$
+) Giả sử trong 2018 số đã cho không có hai số nào bằng nhau.
Không mất tính tổng quát ta giả sử: ${{a}_{1}} < {{a}_{2}} < {{a}_{3}} < ... < {{a}_{2018}}$
Vì ${{a}_{1}};{{a}_{2}};...;{{a}_{2018}}$ là các số nguyên dương nên ${{a}_{1}}\ge 1;{{a}_{2}}\ge 2;{{a}_{3}}\ge 3;....;{{a}_{2018}}\ge 2018$
Suy ra: $\frac{1}{{{a}_{1}}}\le \frac{1}{1};\,\,\frac{1}{{{a}_{2}}}\le \frac{1}{2};\,\,....;\,\,\frac{1}{{{a}_{2018}}}\le \frac{1}{2018}$
Khi đó:
A$\le \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2018}=\left( \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2018} \right)$
$ < \left( \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \right)+\underbrace{\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4} \right)}_{2014sohang\frac{1}{4}}$
Suy ra: A $\le \frac{25}{12}+\frac{1}{4}.2014=\frac{6067}{12}=505\frac{7}{12} < 1000$ (vô lý)
Do đó trong 2018 số đã cho có ít nhất hai số bằng nhau.