a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:
BD chung
$\overset\frown{ABD}=\overset\frown{EBD}$ - phân giác
AB = AE (gt)
$\Rightarrow \vartriangle ABD=\vartriangle EBD\,(c.g.c)$
b) chứng minh tương tự ta có: $\Rightarrow \vartriangle ABH=\vartriangle EBH\,(c.g.c)$$\Rightarrow \overset\frown{AHB}=\overset\frown{BHE}$
mà $\overset\frown{AHB}+\overset\frown{BHE}={{180}^{0}}$ - hai góc kề bù
$\Rightarrow \overset\frown{AHB}+\overset\frown{AHB}={{180}^{0}}$
$\Rightarrow 2\overset\frown{AHB}={{180}^{0}}$$\Rightarrow \overset\frown{AHB}={{90}^{0}}$
$\Rightarrow BH\bot AE$ (đpcm)
c) Do $\vartriangle ABD=\vartriangle EBD\,(c.g.c)$$\Rightarrow AD=DE$ - (1)
$\Rightarrow \vartriangle ADE$cân tại D
Do $\left\{ \begin{align} & BD\bot AE(cmt) \\ & BD\text{ }//\text{ }AK(gt) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow AK\bot AE$$\Leftrightarrow \overset\frown{EAK}={{90}^{0}}$$\Rightarrow \left\{ \begin{align} &\overset\frown{EAD}+\overset\frown{DAK}={{90}^{0}} \\ &\overset\frown{AED}+\overset\frown{AKE}={{90}^{0}} \\ \end{align} \right.$ - (2)
Do $\vartriangle ADE$cân tại D$\Rightarrow \overset\frown{AED}=\overset\frown{EAD}$ - (3)
Từ (2) và (3) $\Rightarrow \overset\frown{DAK}=\overset\frown{AKD}$$\Rightarrow \vartriangle ADK$ cân tại D $\Rightarrow AD\,=\,KD$- (4)
Từ (3) và (4) suy ra: KD = DE
Vậy D là trung điểm của KE.
d) Xét tam giác ABE có: AE < AB + BE = AB + AB ( do AB = AE)
$\Rightarrow$AE < 2.AB – đpcm