$A=3{{x}^{5}}+12{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-23{{x}^{2}}-7x+1$
$=3{{x}^{5}}+12{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-5{{x}^{3}}-20{{x}^{2}}+5x-3{{x}^{2}}-12x+3-2$
$=3{{x}^{3}}({{x}^{2}}+4x-1)-5x({{x}^{2}}+4x-1)-3({{x}^{2}}+4x-1)-2$
$=({{x}^{2}}+4x-1)(3{{x}^{3}}-5x-3)-2$
Ta thấy $x=-2+\sqrt{5}$là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}+4x-1=0$ nên thay $x=-2+\sqrt{5}$vào A ta được:
$A=0.(3{{x}^{3}}-5x-3)-2$$=-2$