a) ${{x}^{2}}+8x+17$ $={{x}^{2}}+2.4x+16+1={{\left( x+4 \right)}^{2}}+1$
Ta có ${{\left( x+4 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x$
$\Rightarrow {{\left( x+4 \right)}^{2}}+1>0\,\,\forall x$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+8x+17>0\,\,\forall x$
b) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\left( x-y \right)+3=\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+\left( {{y}^{2}}-2y+1 \right)+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+1$
Ta có: ${{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x;{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x$
$\Rightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+1>0\,\,\forall x$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\left( x-y \right)+3>0\,\,\forall x$
c) ${{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-4y+6=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+\left( {{y}^{2}}-4y+4 \right)+1={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+1$
Ta có: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x,y;\,\,{{\left( y-2 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x,y$
$\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+1>0$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-4y+6>0\,\,\forall x,y$
d) ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy-2y+4=\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)+\left( {{y}^{2}}-2y+1 \right)+3={{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+3$
ta có:
${{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x,y;\,\,{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall y$
$\Rightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+3>0\,\,\forall x,y$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy-2y+4>0\,\,\forall x,y$
Bài 5.
a) $M=-{{x}^{2}}-2x+5=-\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+6=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}+6$
ta có: ${{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x$
$\Rightarrow -{{\left( x+1 \right)}^{2}}\le 0\,\,\forall x$
$\Rightarrow -{{\left( x+1 \right)}^{2}}+6\le 6\,\,\forall x$
$\Rightarrow M\le 6\,\,\forall x$
Vậy GTNN của M bằng 6 khi ${{\left( x+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=-1$
Câu b,c tương tự em nhé

\[{{x}^{2}}+8x+17={{x}^{2}}+2.4.x+{{4}^{2}}+1={{\left( x+4 \right)}^{2}}+1\]
Vì \[{{\left( x+4 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x\Rightarrow {{\left( x+4 \right)}^{2}}+1\ge 1\,\,\forall x\]
Vậy biểu thức luôn dương với mọi x

Để tìm giá trị lớn nhất, ta biến đổi đa thức đã cho về dạng $-{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+a$ trong đó $a$ là hằng số.
Vì ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\ge 0$ với mọi $x$
$\Rightarrow -{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\le 0$ với mọi $x$
$\Rightarrow -{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+a\le a$ với mọi $x$
Vậy giá trị lớn nhất của đa thức bằng $a$ khi $f\left( x \right)=0$