$A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}$
$B=\frac{99}{1}+\frac{98}{2}+\frac{97}{3}+...+\frac{1}{99}$
$B=\left( \frac{98}{2}+1 \right)+\left( \frac{97}{3}+1 \right)+...+\left( \frac{1}{99}+1 \right)+1$
$B=\frac{100}{2}+\frac{100}{3}+...+\frac{100}{99}+\frac{100}{100}$
$B=100\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100} \right)$
$\Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}}{100\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100} \right)}=\frac{1}{100}$

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