a) Xét $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle HBA$ có:
$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}={{90}^{0}}$
$\widehat{ABC}$ chung
$\Rightarrow \vartriangle ABC$ đồng dạng $\vartriangle HBA$ (g-g)
b) $\vartriangle ABC$ đồng dạng $\vartriangle HBA$ (cma)
$\Rightarrow \widehat{HCA}=\widehat{BAH}$ (2 góc tương ứng)
Xét $\vartriangle HAB$ và $\vartriangle HCA$ có:
$\widehat{BHA}=\widehat{CHA}={{90}^{0}}$
$\widehat{HCA}=\widehat{BAH}$(2 góc tương ứng)
$\Rightarrow \vartriangle HAB$ đồng dạng $\vartriangle HCA$(g-g)
$\Rightarrow \frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$ (2 cặp cạnh tương ứng)
$\Rightarrow A{{H}^{2}}=BH.CH$
c) Xét $\vartriangle ABC$ vuông tại A
$\Rightarrow $ $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (Định lí Pi-ta-go)
$\Rightarrow B{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}=100$ $\Rightarrow BC=10cm$
Xét $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle HAC$ có:
$\widehat{BAC}=\widehat{CHA}={{90}^{0}}$
$\widehat{ACB}$ chung
$\Rightarrow \vartriangle ABC$ đồng dạng $\vartriangle HAC$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{4}$ (2 cặp cạnh tương ứng)
Xét $\vartriangle ACD$ và $\vartriangle HCE$ có:
$\widehat{DAC}=\widehat{EHC}={{90}^{0}}$
$\widehat{ACD}=\widehat{HCE}$ (CA là phân giác góc BCA)
$\Rightarrow \vartriangle ACD$ đồng dạng $\vartriangle HCE$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{{{S}_{ACD}}}{{{S}_{HCE}}}={{\left( \frac{AC}{HC} \right)}^{2}}=\frac{25}{16}$ (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)