Bài giải:

$A=1-\frac{5}{6}+\frac{7}{12}-\frac{9}{20}+\frac{11}{30}-\frac{13}{42}+\frac{15}{56}-\frac{17}{72}+\frac{19}{90}$

$=1-\frac{2+3}{2\times 3}+\frac{3+4}{3\times 4}-\frac{4+5}{4\times 5}+\frac{5+6}{5\times 6}-\frac{6+7}{6\times 7}+\frac{7+8}{7\times 8}-\frac{8+9}{8\times 9}+\frac{9+10}{9\times 10}$

$=1-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \right)-\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right)+\left( \frac{1}{5}+\frac{1}{6} \right)-\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{7} \right)+\left( \frac{1}{7}+\frac{1}{8} \right)-\left( \frac{1}{8}+\frac{1}{9} \right)+\left( \frac{1}{9}+\frac{1}{10} \right)$

$=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}$

=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}$

=$\frac{3}{5}$