Hướng dẫn giải

Chọn gốc tọa độ tại mặt hồ, phía dưới vị trí ném: trục Ox nằm ngang, Oy hướng lên qua điểm ném (hình vẽ); gốc thời gian ném hòn đá

- Các phương trình chuyển động của hòn đá là

$x=\left( {{v}_{0}}\cos \alpha  \right)t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

$y=h+\left( {{v}_{0}}\sin \alpha  \right)t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Tại điểm hòn đá chạm mặt nước

$x=s;\,y=0$

$\Rightarrow s=\left( {{v}_{0}}\cos \alpha  \right)t\Rightarrow t=\frac{s}{{{v}_{0}}\cos \alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,(1')$

$0=h+\left( {{v}_{0}}\sin \alpha  \right)t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2')$

$\Rightarrow 0=h+\left( {{v}_{0}}\sin \alpha  \right).\frac{s}{{{v}_{0}}\cos \alpha }-\frac{1}{2}g{{\left( \frac{s}{{{v}_{0}}\cos \alpha } \right)}^{2}}$

$\Rightarrow 0=h+s.\tan \alpha -\frac{g{{s}^{2}}}{2v_{0}^{2}}\left( 1+{{\tan }^{2}}\alpha  \right)$

$\Rightarrow \frac{g{{s}^{2}}}{2v_{0}^{2}}{{\tan }^{2}}\alpha -s\tan \alpha +\left( \frac{g{{s}^{2}}}{2v_{0}^{2}}-h \right)=0\,\,\,\,(3)$

Giải phương trình (3) đối với $\tan \alpha $ ta có

$\Delta ={{s}^{2}}-4\left( \frac{g{{s}^{2}}}{2v_{0}^{2}} \right)\left( \frac{g{{s}^{2}}}{2v_{0}^{2}}-h \right)={{s}^{2}}-\frac{2g{{s}^{2}}}{v{}_{0}^{2}}\left( \frac{g{{s}^{2}}}{2v_{0}^{2}}-h \right)$

$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{s\pm \sqrt{{{s}^{2}}-\frac{2g{{s}^{2}}}{v_{0}^{2}}\left( \frac{g{{s}^{2}}}{2v_{0}^{2}}-h \right)}}{\frac{g{{s}^{2}}}{v_{0}^{2}}}=\frac{v_{0}^{2}}{gs}\left( 1\pm \sqrt{1-\frac{{{g}^{2}}{{s}^{2}}}{v_{0}^{4}}+\frac{2gh}{v_{0}^{2}}} \right)$

Biểu thức trên có nghĩa khi $1-\frac{{{g}^{2}}{{s}^{2}}}{v_{0}^{4}}+\frac{2gh}{v_{0}^{2}}\ge 0$

$\Rightarrow s\le \frac{{{v}_{0}}}{g}\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$

$\Rightarrow {{s}_{max}}=\frac{{{v}_{0}}}{g}\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$ tầm bay xa cực đại của hòn đấ

Và $s={{s}_{max}}$ khi $\sqrt{1-\frac{{{g}^{2}}{{s}^{2}}}{v_{0}^{4}}+\frac{2gh}{v_{0}^{2}}}=0\Rightarrow \tan \alpha =\frac{v_{0}^{2}}{g{{s}_{max}}}=\frac{{{v}_{0}}}{\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}}$