Bài giải:

$\Delta ABC$ cân tại A $\Rightarrow AB=AC=15$(cm)

$\Delta AHB$ vuông tại H nên:

$A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}$                (1)

$\Delta BHC$ vuông tại H nên:

$B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow B{{H}^{2}}=B{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}=B{{C}^{2}}-{{\left( AC-AH \right)}^{2}}$               (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:

$A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-\left[ B{{C}^{2}}-{{\left( AC-AH \right)}^{2}} \right]$

=$A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+{{\left( AC-AH \right)}^{2}}$

=$A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AC.AH+A{{H}^{2}}$

= $A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}-2.AB.AH+A{{H}^{2}}$(do AB = AC)

$\Rightarrow 2A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}-2AB.AH=0$

$\Rightarrow AH=\frac{2.A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB}=\frac{{{2.15}^{2}}-{{10}^{2}}}{2.15}=\frac{35}{3}$

Vậy $AH=\frac{35}{3}$ (cm)

Đáp án đúng là A