Bài giải:

Ta có: $\widehat{A}={{60}^{0}}$ nên trong tam giác ABC có:

$\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}-{{60}^{0}}={{120}^{0}}$

$\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{C}_{1}}}={{120}^{0}}:2={{60}^{0}}$

$\Rightarrow \widehat{CMI}=\widehat{BIN}={{60}^{0}}$ ( góc ngoài tam giác BIC)

Kẻ tia phân giác ID của $\vartriangle BIC$. Ta có:

$\widehat{BID}=\widehat{DIC}={{60}^{0}}$

Xét $\vartriangle BIN$ và $\vartriangle BID$ có:

$\widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{B}_{1}}}$

BI: cạnh chung

$\widehat{BIN}=\widehat{BID}={{60}^{0}}$

Vậy $\vartriangle BIN$ = $\vartriangle BID$(g.c.g)

Suy ra: BN=BD (1)

Chứng minh tương tự, $\vartriangle CIM=\vartriangle CID$ (g.c.g)

Suy ra: CM=CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BN+CM=BD+CD=BC

Vậy BN+CM=BC=4cm