Bài giải:

 $\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}=\frac{1}{(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}}=\frac{1}{{{(\sqrt{x}-\frac{1}{2})}^{2}}+\frac{3}{4}}$

 Ta có: ${{(\sqrt{x}-\frac{1}{2})}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{(\sqrt{x}-\frac{1}{2})}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\Rightarrow \frac{1}{{{(\sqrt{x}-\frac{1}{2})}^{2}}+\frac{3}{4}}\le \frac{4}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Vậy GTLN của $\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}$  là $\frac{4}{3}$ khi và chỉ khi $x=\frac{1}{4} = 0,25$