Bài giải:

Ta thấy $\pm $ 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức phân tích thành nhân tử thì phải có dạng:

${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+6x+1$= $({{x}^{2}}+ax+b)({{x}^{2}}+cx+d)$

${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+6x+1$= ${{x}^{4}}+(a+c){{x}^{3}}+(ac+b+d){{x}^{2}}+(ad+bc)x+bd$

Suy ra: $\left\{ \begin{align}& a+c=6 \\  & ac+b+d=7 \\ & ad+bc=6 \\ & db=1 \\ \end{align} \right.$

Vì b, d là các số nguyên nên b, d là các ước nguyên của 1.

$\Rightarrow $ b $\in $ { 1; -1}

Thử các trường hợp trên ta tìm được: a = b = d = 1; c = 5

Do đó: ${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+6x+1$ = $({{x}^{2}}+x+1)({{x}^{2}}+x+5)$

Vậy đáp án đúng là: A