Bài giải:

$x(x+1)(x+2)(x+3)+1=0$

$\Leftrightarrow \text{ }\!\![\!\!\text{ }x(x+3)\text{ }\!\!]\!\!\text{  }\!\![\!\!\text{ }(x+1)(x+2)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }+1=0$

$\Leftrightarrow ({{x}^{2}}+3x)({{x}^{2}}+3x+2)+1=0$

Đặt: t = ${{x}^{2}}+3x+1$ . Khi đó, ta được:

$(t-1)(t+1)+1=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-1+1=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow t=0$

Suy ra: ${{x}^{2}}+3x+1=0$

$\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{3}{2} \right)}^{2}}-\frac{5}{4}=0$

$\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} \\ & x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{\sqrt{5}-3}{2} \\  & x=\frac{-\sqrt{5}-3}{2} \\ \end{align} \right.$

Vậy số nghiệm của phương trình là: 2